Calculando expectativas de vida

Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

A vida futura curtata

  • $K_x = \lfloor T_x \rfloor$, o número de anos completos vividos
    $\quad \,$ por $(x)$ no futuro.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

  • Calcule $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.
# Probabilidade de morte diferida em 5 anos de (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternativamente
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664
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A expectativa de vida curtata

  • O valor esperado de $K_x$ é chamado de expectativa de vida curtata:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

A expectativa de vida de um super-herói

 

O Sr. Incrível tem 35 anos e mora na Bélgica.

Como super-herói autônomo, ele precisa cuidar do seu planejamento financeiro.

Qual é uma boa estimativa da sua vida futura curtata?

Você pode ajudar?

Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

A expectativa de vida de um super-herói no R

Calcule $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# probabilidades de sobrevivência de um ano
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# probabilidades de sobrevivência em k anos de (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# expectativa de vida futura curtata de (35)
sum(kp35)

43.53192
Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

A expectativa de vida futura

  • Como passar de $E[K_x]$ para $E[T_x]$?

  • Ou seja: da expectativa curtata para a completa?

  • Use:

    $$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

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A expectativa de vida de um super-herói no R

Compare $E[K_{35}]$ com $E[T_{35}]$.

# Expectativa de vida curtata de (35)
sum(kp35)

43.53192

# Expectativa de vida completa de (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03
Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

Vamos praticar!

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