Vida futura aleatória

Avaliação de Produtos de Seguro de Vida em R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

A vida futura aleatória

$(x)$ representa um indivíduo com idade $x$ neste momento, com $x \geq 0$.
A variável aleatória $T_x$ é a vida futura de $(x)$.
Assim, a idade ao morrer de $(x)$ é $x + T_x$.

A tábua de vida no R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table contém a tábua de vida periódica de homens na Bélgica em 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Taxas de mortalidade e probabilidades de sobrevivência

Probabilidade de morrer em um ano

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ é a taxa de mortalidade na idade $x$.
Probabilidade de sobreviver em um ano

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Logo, $p_x = 1 - q_x$.

Taxas de mortalidade de atletas belgas no R

Eden Hazard é um jogador belga que atua no Chelsea e tem 27 anos.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx é um ciclista belga, 5 vezes vencedor do Tour de France, e tem 72 anos.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Visualizando as taxas de mortalidade $q_x$ da Bélgica no R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

A expectativa de vida

A (completa) expectativa de vida futura de $(x)$ é $E[T_x]$
Para Eden Hazard, de 27 anos:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Para Eddy Merckx, de 72 anos:

ex[72 + 1]

12.67

Visualizando a expectativa de vida no R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Vamos praticar!

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