Processus stationnaires

Analyse de séries temporelles en R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Stationnarité

  • Les modèles stationnaires sont parcimonieux.
  • Les processus stationnaires ont une stabilité distributionnelle dans le temps.

Séries temporelles observées :

  • Fluctuent aléatoirement.
  • Mais se comportent de façon similaire d'une période à l'autre.
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Stationnarité faible - I

Faiblement stationnaire : moyenne, variance, covariance constantes dans le temps.

$Y_1, Y_2$, … est un processus faiblement stationnaire si :

  • La moyenne $ \mu $ de $ Y_t$ est la même (constante) pour tout $t$.
  • La variance $ \sigma ^2$ de $ Y_t$ est la même (constante) pour tout $t$.
  • Et…
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Stationnarité faible - II

La covariance de $ Y_t$ et $ Y_s$ est la même (constante) pour tout $ \vert t - s \vert = h$, pour tout $ h$.

$$ Cov(Y_2, Y_5) = Cov(Y_7, Y_{10})$$

car chaque paire est séparée par trois unités de temps.

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Stationnarité : pourquoi ?

Un processus stationnaire peut être modélisé avec moins de paramètres.

Par exemple, il n'est pas nécessaire d'avoir une espérance différente pour chaque $ Y_t$ ; elles partagent une espérance commune, $ \mu$.

  • Estimez $ \mu$ précisément avec $ \bar y $.
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Stationnarité : quand ?

Beaucoup de séries financières ne sont pas stationnaires ; toutefois :

  • Les variations de la série sont souvent approximativement stationnaires.
  • Une série stationnaire oscille aléatoirement autour d'un niveau fixe ; c'est la réversion vers la moyenne.
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Exemple de stationnarité

Taux d'inflation et variations des taux d'inflation :

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Passons à la pratique !

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