Das autoregressive Modell

Zeitreihenanalyse in R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Das autoregressive Modell – I

Die autoregressive (AR-)Rekursion:

$Heute = Konstante + Steigung * Gestern + Rauschen$

Zentrierte Version:

$(Heute - Mittelwert) = $

$ Steigung*(Gestern - Mittelwert) + Rauschen$

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Das autoregressive Modell – II

$$(Heute - Mittelwert) = $$

$$Steigung * (Gestern - Mittelwert) + Rauschen$$

Formaler: $$ Y_t - \mu = \phi (Y_{t-1} - \mu ) + \epsilon_t$$ mit $ \epsilon_t$ als weißem Rauschen (WN) mit Mittel 0.

  • Der Mittelwert $ \mu$
  • Die Steigung $ \phi$
  • Die WN-Varianz $ \sigma ^2$
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AR-Prozesse – I

$$Y_t - \mu = \phi(Y_{t-1} - \mu) + \epsilon_t$$

  • Wenn $ \phi = 0 $, dann: $Y_t = \mu + \epsilon_t $ und

$Y_t$ ist weißes Rauschen: $(\mu, \sigma _{\epsilon}^2)$

  • Wenn $ \phi \neq 0 $, dann hängt $ Y_t$ von $ \epsilon_t$ und $ Y_{t-1} $ ab

Und der Prozess {${Y_t}$} ist autokorreliert

  • Große $ \phi$ führen zu stärkerer Autokorrelation

  • Negative $ \phi$ erzeugen oszillierende Zeitreihen

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AR-Beispiele

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Autokorrelationen

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Random Walk

Wenn $ \mu = 0$ und Steigung $ \phi = 1$, dann:

$$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

Also:

$Heute = Gestern + Rauschen$

Das ist jedoch ein Random Walk.

Und {$ Y_t $} ist in diesem Fall nicht stationär.

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