Stationäre Prozesse

Zeitreihenanalyse in R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Stationarität

  • Stationäre Modelle sind sparsam.
  • Stationäre Prozesse sind über die Zeit verteilungsstabil.

Beobachtete Zeitreihen:

  • Schwanken zufällig.
  • Verhalten sich aber von Periode zu Periode ähnlich.
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Schwache Stationarität – I

Schwache Stationarität: Mittelwert, Varianz, Kovarianz über die Zeit konstant.

$Y_1, Y_2$, … ist ein schwach stationärer Prozess, wenn:

  • Der Mittelwert $ \mu $ von $ Y_t$ für alle $t$ gleich (konstant) ist.
  • Die Varianz $ \sigma ^2$ von $ Y_t$ für alle $t$ gleich (konstant) ist.
  • Und …
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Schwache Stationarität – II

Die Kovarianz von $ Y_t$ und $ Y_s$ ist für alle $ \vert t - s \vert = h$ gleich (konstant), für alle $ h$.

$$ Cov(Y_2, Y_5) = Cov(Y_7, Y_{10})$$

weil jedes Paar durch drei Zeiteinheiten getrennt ist.

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Stationarität: Warum?

Ein stationärer Prozess braucht weniger Parameter.

Zum Beispiel brauchen wir keinen eigenen Erwartungswert für jedes $ Y_t$; sie teilen sich den gemeinsamen Erwartungswert $ \mu$.

  • Schätze $ \mu$ gut mit $ \bar y $.
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Stationarität: Wann?

Viele Finanzzeitreihen sind nicht stationär, aber:

  • Die Änderungen der Reihe sind oft näherungsweise stationär.
  • Eine stationäre Reihe oszilliert zufällig um ein fixes Niveau; das nennt man Mittelwert-Rückkehr (mean reversion).
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Beispiel: Stationarität

Inflationsraten und Änderungen der Inflationsraten:

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Lass uns üben!

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