Das Random‑Walk‑Modell (RW)

Zeitreihenanalyse in R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Random Walk

Random Walk (RW) ist ein einfaches Beispiel für einen nicht‑stationären Prozess.

Ein Random Walk hat:

  • Keinen festen Mittelwert oder Varianz.
  • Starke zeitliche Abhängigkeit.
  • Seine Änderungen/Inkremente sind weißes Rauschen (WR).
Zeitreihenanalyse in R

Random Walk

Zeitreihenplots eines Random Walks:

Zeitreihenanalyse in R

Random Walk

Die Random‑Walk‑Rekursion:

$$Heute = Gestern + Rauschen$$

Formell:

$$ Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

wobei $\epsilon_t$ WR mit Mittelwert 0 ist.

  • Für die Simulation braucht man einen Startwert $Y_0$.

  • Nur ein Parameter: die WR‑Varianz $\sigma^{2}_{\epsilon}$.

Zeitreihenanalyse in R

Random Walk – I

Der Random‑Walk‑Prozess:

$$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

wobei $\epsilon_t$ WR mit Mittelwert 0 ist

Da $Y_t - Y_{t-1} = \epsilon_t \rightarrow $ diff(Y) ist WR

Zeitreihenanalyse in R

Random Walk – II

Zeitreihenanalyse in R

Random Walk mit Drift – I

Random Walk mit Drift:

$$Heute = Konstante + Gestern + Rauschen$$

Formell: $$Y_t = c + Y_{t-1} + \epsilon_t$$

wobei $\epsilon_t$ weißes Rauschen (WR) mit Mittelwert 0 ist.

  • Zwei Parameter: die Konstante $c$ und die WR‑Varianz $\sigma_{\epsilon}^2$.
  • $Y_t - Y_{t-1} = $ ? $\rightarrow$ WR mit Mittelwert $c$!
Zeitreihenanalyse in R

Random Walk mit Drift – II

Zeitreihenplots eines Random Walks mit Drift:

Zeitreihenanalyse in R

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Zeitreihenanalyse in R

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