Regressão de Poisson

Modelagem Bayesiana com RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Estrutura de verossimilhança Normal

$Y$ = volume (# de usuários) em um dia
$Y \sim N(m, s^2)$

Tecnicamente...

O modelo Normal supõe que $Y$ tem escala contínua e pode ser negativo.
Mas $Y$ é uma contagem discreta e não pode ser negativo.

O modelo de Poisson

$Y$ = volume (# de usuários) em um dia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ é o # de eventos independentes que ocorrem em um intervalo fixo (0, 1, 2,...).
O parâmetro de taxa $l$ representa o # típico de eventos por intervalo de tempo
($l > 0$).

O modelo de Poisson

$Y$ = volume (# de usuários) em um dia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ é o # de eventos independentes que ocorrem em um intervalo fixo (0, 1, 2,...).
O parâmetro de taxa $l$ representa o # típico de eventos por intervalo de tempo
($l > 0$).

O modelo de Poisson

$Y$ = volume (# de usuários) em um dia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ é o # de eventos independentes que ocorrem em um intervalo fixo (0, 1, 2,...).
O parâmetro de taxa $l$ representa o # típico de eventos por intervalo de tempo
($l > 0$).

O modelo de Poisson

$Y$ = volume (# de usuários) em um dia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ é o # de eventos independentes que ocorrem em um intervalo fixo (0, 1, 2,...).
O parâmetro de taxa $l$ representa o # típico de eventos por intervalo de tempo
($l > 0$).

Regressão de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ onde $l_i > 0$

Regressão de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ onde $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Regressão de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ onde $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Um problema:
Vincular $l_i$ diretamente ao modelo linear supõe que $l_i$ pode ser negativo.

Regressão de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ onde $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Uma solução:
Use uma função de ligação log para ligar $l_i$ ao modelo linear. Assim:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regressão de Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ onde $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Uma solução:
Use uma função de ligação log para ligar $l_i$ ao modelo linear. Assim:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regressão de Poisson no RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Regressão de Poisson no RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regressão de Poisson no RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regressão de Poisson no RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Alertas

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Suposição: entre dias com temperaturas e status de dia de semana similares, a variância de $Y_i$ é igual à média de $Y_i$.
Nossos dados indicam possível superdispersão — a variância é maior que a média.
Embora não seja perfeito, este modelo é um bom ponto de partida.

Vamos praticar!

Modelagem Bayesiana com RJAGS