Regressão Bayesiana multivariada

Modelagem Bayesiana com RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modelando o volume

$Y_i$ = volume da trilha (nº de usuários) no dia $i$

¹ Foto cortesia de commons.wikimedia.org

Modelando por dia da semana

$Y_i$ = volume da trilha (nº de usuários) no dia $i$
$X_i$ = 1 para dias de semana, 0 para fins de semana

$\;$

Modelando por temperatura

$Y_i$ = volume da trilha (nº de usuários) no dia $i$
$Z_i$ = temperatura máxima no dia $i$ (em $^{\circ}$F)

$\;$

Modelando por temperatura e dia da semana

$Y_i$ = volume da trilha (nº de usuários) no dia $i$
$X_i$ = 1 para dias de semana, 0 para fins de semana
$Z_i$ = temperatura máxima no dia $i$ (em $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Fins de semana: $m_i = a + c Z_i$

Dias de semana: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modelando por temperatura e dia da semana

$Y_i$ = volume da trilha (nº de usuários) no dia $i$
$X_i$ = 1 para dias de semana, 0 para fins de semana
$Z_i$ = temperatura máxima no dia $i$ (em $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Fins de semana: $m_i = a + c Z_i$

Dias de semana: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modelando por temperatura e dia da semana

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Fins de semana: $m_i = a + c Z_i$

Dias de semana: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = intercepto em fins de semana
$a+b$ = intercepto em dias de semana
$b$ = contraste entre interceptos (dias de semana vs fins de semana)

$c$ = inclinação comum
$s$ = desvio padrão residual

Priors para $a$ e $b$

Falta certeza sobre o intercepto da relação entre temperatura e volume em fins de semana.

Falta certeza sobre como o volume típico se compara em dias de semana vs fins de semana com temperatura similar.

Priors para $c$ e $s$

Seja em dias de semana ou fins de semana, falta certeza sobre a associação entre volume da trilha e temperatura.

O desvio típico da tendência tem a mesma chance de estar entre 0 e 200 usuários.

Modelo Bayesiano por status de dia da semana

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DEFINIR o modelo Bayesiano no RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Vamos praticar!

Modelagem Bayesiana com RJAGS