Teoria dei valori estremi

Gestione quantitativa del rischio in Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Valori estremi

Valori estremi: dalla coda della distribuzione
- Perdite in coda: perdite oltre una certa soglia
- Modellare le perdite di coda => gestione del rischio migliore

intervallo da 0 a T

linea da 0 a T divisa in sottointervalli

Teoria dei valori estremi: distribuzione statistica dei valori estremi
Massimi a blocchi:
- Suddividi il periodo in sottoperiodi
- Crea un blocco per ogni sottoperiodo

intervallo con blocchi

Teoria dei valori estremi: distribuzione statistica dei valori estremi
Massimi a blocchi:
- Suddividi il periodo in sottoperiodi
- Crea blocchi per ogni sottoperiodo
- L'insieme dei massimi di blocco = insieme di dati
Peak over threshold (POT):
- Trova tutte le perdite sopra un certo livello
- L'insieme di tali perdite = insieme di dati

intervallo con blocchi e perdita massima per blocco

Esempio: Massimi a blocchi per 2007 - 2009
- Ricampiona le perdite con il periodo desiderato (es. settimanale)
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
Distribuzione generalizzata dei valori estremi (GEV)
- Distribuzione dei massimi dei dati
- Esempio: stima parametrica con scipy.stats.genextreme
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

VaR 99% dalla distribuzione GEV
- Usa la percent point function .ppf() per trovare la VaR 99%
- Richiede params dalla GEV stimata
- Trova la perdita massima su una settimana al 99% di confidenza
CVaR 99% dalla distribuzione GEV
- La CVaR è l'attesa condizionata della perdita dato la VaR come perdita minima
- Usa il metodo .expect() per il valore atteso

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

Gestione del rischio: coprire le perdite
- Obbligo normativo (banche, assicurazioni)
- Devono esserci riserve per coprire le perdite
  - Per un periodo specifico (es. una settimana)
  - A un livello di confidenza specifico (es. 99%)
VaR dalla distribuzione GEV:
- stima la perdita massima
  - dato il periodo
  - dato il livello di confidenza

Esempio: Valore iniziale del portafoglio = $1,000,000
Requisito di riserva di una settimana al 99% di confidenza
- $\text{VaR}_{99}$ dalla GEV: perdita massima in una settimana al 99% di confidenza
Requisito di riserva: Valore del portafoglio x $\text{VaR}_{99}$
- Supponi $\text{VaR}_{99}$ = 0.10, cioè perdita massima del 10%
- Requisito di riserva = $100,000
Il valore del portafoglio cambia => il requisito di riserva cambia
La normativa stabilisce la frequenza di aggiornamento delle riserve

Gestione quantitativa del rischio in Python