Stima della densità con kernel

Gestione quantitativa del rischio in Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

L'istogramma, rivisto

Distribuzioni dei fattori di rischio
- Assunte (es. Normale, T, ecc.)
- Stimate (stima parametrica, simulazione Monte Carlo)
- Ignorate (simulazione storica)
Dati reali: istogramma
Come rappresentare un istogramma con una distribuzione di probabilità?
- Liscia i dati con il filtro
- Stima non parametrica

istogramma delle perdite

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma

assi dell'istogramma

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo

immagine di osservazioni che si accumulano

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo

immagine di osservazioni che si accumulano

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo

immagine di osservazioni che si accumulano

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo
Scegli una specifica perdita di portafoglio

perdite e perdita specifica indicata da una freccia

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo
Scegli una specifica perdita di portafoglio
- Esamina le perdite vicine

finestra del kernel sovrapposta alle osservazioni

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo
Scegli una specifica perdita di portafoglio
- Esamina le perdite vicine
- Calcola una «media pesata» delle perdite
Kernel: scelta del filtro; determina la «finestra»

media pesata dal kernel mostrata nell'immagine

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo
Scegli una specifica perdita di portafoglio
- Esamina le perdite vicine
- Calcola una «media pesata» delle perdite
Kernel: scelta del filtro; determina la «finestra»
- Sposta la finestra su un'altra perdita

immagine di una seconda posizione del kernel

Levigare i dati

Filtro: attenua i «bozzi» dell'istogramma
Le osservazioni si accumulano nel tempo
Scegli una specifica perdita di portafoglio
- Esamina le perdite vicine
- Calcola una «media pesata» delle perdite
Kernel: scelta del filtro; determina la «finestra»
- Sposta la finestra su un'altra perdita
Stima della densità con kernel: densità di probabilità

immagine della stima della densità con kernel

Il kernel gaussiano

Kernel continuo
Pesa tutte le osservazioni in base alla distanza dal centro
In generale: esistono molti kernel diversi
- Usati nell'analisi delle serie temporali
- Usati nell'elaborazione dei segnali

immagine di kernel gaussiano

KDE in Python

from scipy.stats import gaussian_kde

kde = guassian_kde(losses)

loss_range = np.linspace(np.min(losses),
                np.max(losses),
                1000)

plt.plot(loss_range, kde.pdf(loss_range))

Visualizzazione: funzione di densità di probabilità dal fit KDE

grafico della stima KDE gaussiana

Trovare la VaR con KDE

VaR: usa il metodo .resample() di gaussian_kde
Trova il quantile del campione risultante
CVaR: valore atteso come visto prima, ma
- gaussian_kde non ha .expect() => integra manualmente
- metodo .expect() speciale scritto per l'esercizio

sample = kde.resample(size = 1000)

VaR_99 = np.quantile(sample, 0.99)

print("VaR_99 from KDE: ", VaR_99)

VaR_99 from KDE: 0.08796423698448601

Esercitiamoci!

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