Rotture strutturali

Gestione quantitativa del rischio in Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Rischio e distribuzione

Strumenti di gestione del rischio
- Mitigazione del rischio: MPT
- Misurazione del rischio: VaR, CVaR
Rischio: dispersione, volatilità
- Varianza (deviazione standard) come definizione di rischio
Legame tra rischio e distribuzione dei fattori di rischio come variabili casuali

Stazionarietà

Assunzione: la distribuzione è la stessa nel tempo
Distribuzione invariata = stazionaria
Frontiera efficiente nel periodo della crisi finanziaria globale
- Non stazionaria
Le tecniche di stima richiedono stazionarietà
- Storica: distribuzione stazionaria ignota dai dati passati
- Parametrica: classe di distribuzioni stazionarie assunta
- Monte Carlo: distribuzione stazionaria assunta per le estrazioni casuali

Rotture strutturali

Non stazionaria => la distribuzione può cambiare nel tempo
Supponi punti specifici di cambio
- Suddividi i dati in sottoperiodi
- All'interno di ogni sottoperiodo, assumi stazionarietà
Rottura strutturale: punto/i di cambio
- Cambio nel «trend» della media e/o della volatilità dei dati

Esempio: crescita della popolazione cinese

Esamina il periodo 1950 - 2019
Il trend è circa lineare...

Grafico della popolazione della Cina nel tempo, 1950-2019

Esempio: crescita della popolazione cinese

Esamina il periodo 1950 - 2019
Il trend è circa lineare...
...ma sembra rallentare intorno al 1990
Possibile rottura strutturale vicino al 1990.
Implica che la distribuzione della popolazione netta (nati - morti) sia cambiata
Possibili motivi: politiche pubbliche, tenore di vita, ecc.

Grafico della popolazione della Cina nel tempo con frecce di trend, 1950-2019

Il test di Chow

Esempio precedente: evidenza visiva di rottura strutturale
Quantificazione: misura statistica
Test di Chow:
- Verifica l'esistenza di una rottura strutturale dato un modello lineare
- Ipotesi nulla: nessuna rottura
- Richiede tre regressioni OLS
  - Regressione per l'intero periodo
  - Due regressioni, prima e dopo la rottura
- Raccogli la somma dei residui al quadrato
- La statistica di test segue la distribuzione "F"

Il test di Chow in Python

Ipotesi: rottura strutturale nel 1990 per la popolazione cinese
Assumi un «factor model» lineare: $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
Regressione OLS usando OLS di statsmodels sull'intero periodo 1950 - 2019
- Recupera la somma dei residui al quadrato res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Il test di Chow in Python

Dividi 1950 - 2019 nei sottoperiodi 1950 - 1989 e 1990 - 2019
Esegui regressioni OLS su ciascun sottoperiodo
- Recupera res_before.ssr e res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Il test di Chow in Python

Calcola la statistica del test di Chow (distribuita F)
- Calcola il numeratore
  - k = 2 gradi di libertà = 2 coefficienti OLS $\alpha$, $\beta$
- Calcola il denominatore
  - 66 gradi di libertà = numero totale di dati (70) - 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Esercitiamoci!

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