Özdeğerler ve Özvektörler Üzerine Biraz Daha

R ile Veri Bilimi için Lineer Cebir

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Ne Oluyor?

Eğer $A$’nın özdeğerleri $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ ayrıksa ve $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ ilişkili özvektörlerse, bu vektörler kümesi $n$-boyutlu vektörler için bir bazis oluşturur.
Başka bir deyişle, $A$ matrisinin, özdeğerleri $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$ birbirinden farklı olan $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ özvektörlerinden oluşan bir bazisi varsa, her $n$-boyutlu vektör bu vektörlerin doğrusal birleşimi olarak yazılabilir, yani $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Ne Oluyor?

$A\vec{x}$’e matrisi uygulayıp $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$ özelliğini kullanırsak, şu basit ayrışımı elde ederiz:

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Böylece, öz-ikililer matris çarpımını skaler çarpımların doğrusal birleşimine dönüştürür!

Matrisi Yinelemek

Matrisi $A$ ile yinelemeli olarak çarparsak:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

ve genel olarak: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Dolayısıyla, ardışık matris çarpımı ardışık skaler üs alma değildir!

Ayrıca, özdeğerlerden biri diğerlerinden büyükse, $t$ arttıkça bu farklar büyür.

Alel Frekanslarıyla Örnek

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() ayrışımı
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Hadi pratik yapalım

R ile Veri Bilimi için Lineer Cebir