Doğrusal olmayan problemleri dönüştürme

Python ile Optimizasyona Giriş

Jasmin Ludolf

Content Developer

Doğrusal olmayan bir fonksiyonu enbüyükleme

Sanatçı, maliyeti $C(q) = \sqrt q$ olan en fazla 16 tablo üretir; $q$ miktardır
Ters talep $p=\frac{3}{\sqrt q}$; $p$ fiyattır
$\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Tuvale resim yapan kadın

SciPy mı PuLP mü?

SciPy: milp doğrusal bir amaç bekler
PuLP:

model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'

Doğrusallaştırmak için değiştirme

$z = \sqrt q$ ile yer değiştirin
$\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
$\rightarrow$ kapasite kısıtı $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$

model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.

Bağımlı projelerle sermaye bütçelemesi

Problem tanımı

Projeler $A$, $B$, $C$; $B$ için $A$ önkoşuldur
Kârlar sırasıyla $V$ = [250, 200, 300]
Gerekli yatırım $I$ = [2000, 1900, 2500] ve yalnızca $4600 mevcuttur

Modelleme

$o_A$, $o_B$, $o_C$ ikili değişkenler; proje seçimini gösterir

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Bütçe yönetimi simgesi

Doğrusallaştırma: ikililerin çarpımı

$o_Ao_B=o_{AB}$ ile değiştirin
Kısıtlar ekleyin
- $o_{AB}\leq o_{A}$
- $o_{AB}\leq o_{B}$
- $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
Problem şu hâle gelir

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Eğitim maliyetli kaynak tahsisi

Maliyeti en aza indirmek için 120 görevi paylaştırın
Kıdemli ($S$), kıdemsiz ($J$) ve stajyer ($I$)
Stajyer eğitim maliyeti $500$
Görev çözüm maliyeti $c$ = [30, 40, 5]
Vektör $x$: optimal atanan görevler
İkili $o$: stajyerin eğitim alıp almadığı
$TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Büyük yapılacaklar listesi yanında kalemli kişi

Doğrusallaştırma: ikili ile sürekli çarpımı

Big-M yöntemi büyük bir M sayısı tanımlar
Çarpımı $z = (5x_I+500)o$ ile değiştirir
Şunları uygular
- $-oM\leq z \leq oM$
- $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$

Hadi pratik yapalım!

Python ile Optimizasyona Giriş