Eşitsizlik kısıtlarıyla dışbükey kısıtlı optimizasyon

Python ile Optimizasyona Giriş

Jasmin Ludolf

Content Developer

Köşe ve iç çözüm

Alexia'nın yalnızca 5 saatlik işi var

$$ w\leq 5$$

İki kısıt:
- Günde 24 saat
- 5 saat iş
Kısıtlar bir köşe oluşturur
İç çözüm bir kesişim değildir

Kayıtsızlık eğrileri ve kısıtlar. En iyi fayda düzeyindeki kayıtsızlık eğrisi, kısıtların kesişiminden geçer.

Kapasite kısıtlı üretici

Otomobil üreticisi aynı araçları iki tesiste üretir: $A$, $B$
- Miktarlar: $q_A$, $q_B$
- Kapasite: $q_A\leq 90$, $q_B\leq 90$
- Maliyet: $C_A(q)=3q$, $C_B(q)=3.5q$
Talep:
- $P=120-Q$
Sözleşme:
- $Q\geq 92$
Amaç: kârı maksimize etmek
- $\displaystyle\max \Pi(q_A,q_B)$

Araba üretim hattı

Kârı maksimize etme

Amaç:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ$

Kârı maksimize etme

Amaç:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ = (120-Q)Q $

Kârı maksimize etme

Amaç:
- $\Pi = R-C$
  - $R = PQ = (120-Q)Q=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$
  - $C=C_A+C_B=3q_A+3.5q_B$
Sınırlar
- $0\leq q_A, q_B\leq 90$
Kısıtlar
- $Q\geq92\Leftrightarrow 92\leq q_A+q_B$

Formülasyon

$$\max_{q_A,q_B}R(q_A,q_B)-C(q_A,q_B)$$

$$k.t. $$

$$R(q_A,q_B)=\left[120-(q_A+q_B)\right](q_A+q_B)$$

$$\ \ \ \ \ C(q_A,q_B)=3q_A+3.5q_B$$

$$\ \ \ 0\leq q_A, q_B\leq 90$$

$$ \ \ \ \ 92\leq q_A+q_B$$

from scipy.optimize import minimize,\
        Bounds, LinearConstraint


def R(q):
    return (120 - (q[0] + q[1]
       )) * (q[0] + q[1])

def C(q): return 3*q[0] + 3.5*q[1] 

def profit(q): return R(q) - C(q)


bounds = Bounds([0, 0], [90, 90])


constraints = LinearConstraint([1, 1], 
                               lb=92)

SciPy ile kârı maksimize etme

result = minimize(lambda q: -profit(q),

                  [50, 50],

                  bounds=bounds,
                  constraints=constraints)

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}')

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00

SciPy'de doğrusal olmayan kısıtlar

from scipy.optimize import NonlinearConstraint 
import numpy as np


constraints = NonlinearConstraint(lambda q: q[0] + q[1], lb=92, ub=np.inf)


result = minimize(lambda q: -profit(q), 
                  [50, 50], 
                  bounds=Bounds([0, 0], [90, 90]),
                  constraints=constraints)

NonlinearConstraint ile çözüm

print(result.message)
print(f'The optimal number of cars produced in plant A is: {result.x[0]:.2f}')
print(f'The optimal number of cars produced in plant B is: {result.x[1]:.2f}')
print(f'The firm made: ${-result.fun:.2f}')

Optimization terminated successfully
The optimal number of cars produced in plant A is: 90.00
The optimal number of cars produced in plant B is: 2.00
The firm made: $2299.00

Doğrusal, basit problemler için LinearConstraint() kullanın
Diğer durumlarda NonlinearConstraint() kullanın

Hadi pratik yapalım!

Python ile Optimizasyona Giriş