Cox Orantısal Tehlikeler modelini uyarlama

Python ile Survival Analysis

Shae Wang

Senior Data Scientist

Tehlike fonksiyonu ve tehlike hızı

Tehlike fonksiyonu $h(t)$: hayatta kalınan zamana koşullu olarak olayın belirli bir anda gerçekleşme olasılığını açıklar.

Tehlike hızı: olayın anlık gerçekleşme hızı

$$h(t)=-\frac{d}{dt}logS(t)$$

Tehlike fonksiyonu $h(t)$ ile sağkalım fonksiyonu $S(t)$ birbirinden türetilebilir.

Orantısal tehlikeler varsayımı

Orantısal tehlikeler varsayımı: tüm bireylerin tehlikeleri birbirine orantılıdır.

Birey $A$ ve birey $B$ için: $$h_A(t)=ch_B(t)$$

Bir temel tehlike fonksiyonu vardır; diğer tehlikeler ölçekleme katsayıları ile belirtilir.
Bir değişkenin göreli sağkalım etkisi zamanla değişmez (zamanla sabit).

İki sağkalım eğrisi arasında orantılı tehlike varsayımı karşılaştırması

Cox Orantısal Tehlikeler modeli

Orantısal tehlikeler varsayımına göre: $$h(t|x)=b_0(t)exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$$

$b_0(t)$: zamana göre değişen, nüfus düzeyinde temel tehlike fonksiyonu.

$exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$: kovaryatlar ile tehlikenin logu arasındaki doğrusal ilişki; zamanla değişmez.

Cox Orantısal Tehlikeler (Cox PH) modeli, kovaryatları olaya-kadar-zamana/durasyona göre regrese eden bir regresyon modelidir.

Cox PH modeli için veri gereksinimi

Süreler: bireylerin yaşam süresi/süresi.
Olaylar: olayın gözlenip gözlenmediği (1=Evet, 0=Hayır, sansürlü).
- Sağlanmazsa model hiçbir deneğin sansürlü olmadığını varsayar.
Kovaryatlar: sürekli veya tek-sıcak kodlanmış kategorik değişkenler.

Cox PH modelini uyarlama

CoxPHFitter sınıfını içe aktarın ve başlatın

from lifelines import CoxPHFitter
coxph = CoxPHFitter()

Tahminciyi verilere uydurmak için .fit() çağırın
```
coxph.fit(df, duration_col, event_col)
```
Özet, kovaryat, katsayılar, tahmin, grafik vb. için diğer özelliklere erişin
```
coxph.summary()
coxph.predict()
```

Cox PH modeline örnek

DataFrame: mortgage_df
Kovaryatlar:
- house
- principal
- interest
- property_tax
- credit_score
Diğer sütunlar: duration, paid_off

from lifelines import CoxPHFitter

coxph = CoxPHFitter()
coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Özel model

DataFrame'i filtreleyin:

new_df = mortgage_df.loc[:, 
          mortgage_df.columns!="house"]
coxph.fit(df=new_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

formula parametresini kullanın:

coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off",
          formula="principal + interest 
          + property_tax + credit_score")

Daha kullanışlı ve anlaşılırdır, ancak çok sayıda kovaryatta ölçeklenmez.

Katsayıları yorumlama

print(coxph.summary)

<lifelines.CoxPHFitter: fitted with 1808 observations, 340 censored>
                        coef  exp(coef)  se(coef)      z       p
covariate house        -0.38       0.68      0.19. -1.98    0.05
          principal    -0.06       0.94      0.02  -2.61    0.01
          interest      0.31       1.37      0.31   1.02    0.31
          property_tax -0.15       0.86      0.21  -0.71    0.48
          credit_score -0.43       0.65      0.38  -1.14.   0.26

Tehlike oranı: $e^{coef}$
- interest medyanından bir birim artarsa -> tehlike $e^{0.31}=1.37$ katsayısıyla değişir; bu, temel tehlikeye göre %37 artıştır.

Haydi pratik yapalım!

Python ile Survival Analysis