Çok değişkenli t-dağılımları

R'de Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Çok değişkenli dağılımlar için parametreler

Dağılım	Konum Parametresi	Ölçek Parametresi
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Çarpık-normal	`xi`	`Omega`
Çarpık-t	`xi`	`Omega`

Çok değişkenli dağılımlar için parametreler

Dağılım	Konum Parametresi	Ölçek Parametresi	Serbestlik derecesi
Normal	`mean`	`sigma`	Hayır
t	`delta`	`sigma`	Evet
Çarpık-normal	`xi`	`Omega`	Hayır
Çarpık-t	`xi`	`Omega`	Evet

Tek değişkenli normal ile tek değişkenli t-dağılımlarını karşılaştırma

Karşılaştırma

Standart normal
Farklı df'lerle t

Normal ve t-dağılımı kuyruklarını karşılaştırma

Aynı eşik için kuyruklar daha kalın

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Dağılım	Olasılık
Normal	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

Çok değişkenli t-dağılımı gösterimi

Tek değişkenli Student'ın t-dağılımının genellemesi
- Yaygın sürüm, tüm boyutlar için tek bir serbestlik derecesine sahiptir ve şöyle gösterilir:

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

İki değişkenli normal ve t-dağılımlarının eş eğrileri

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

t için df = 3 eş yoğunluk eğrileri

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

İki değişkenli normalin eş yoğunluk eğrileri

Çok değişkenli t-dağılımları için işlevler

İşlevler şunları içerir:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Rastgele örnekler üretme

3 boyutlu t'den örnekler üret: $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Normal örneklerle karşılaştırma

4 serbestlik dereceli t-dağılımı

Normal dağılım

Normal örneklerle karşılaştırma

10 serbestlik dereceli t-dağılımı

Normal dağılım

Hadi çok değişkenli bir t-dağılımından örnekler üretelim!

R'de Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları