Çok değişkenli çarpık dağılımlar

R'de Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Çarpık çok değişkenli dağılım: saçılım grafiği

Akış sitometrisi verisi -- yan saçılım (SSC) ve ileri saçılım (FSC)

Çarpık çok değişkenli dağılım: kontur grafiği

Akış sitometrisi verisi -- yan saçılım (SSC) ve ileri saçılım (FSC)

Tek değişkenli çarpık-normal dağılım

Genel çarpık-normal $SN(\xi,\omega,\alpha)$ ile gösterilir

$\xi$ ve $\omega$ konum ve ölçek parametreleridir

En basit form: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ çarpıklık parametresidir

Tek değişkenli çarpık-normal dağılımların aralığı

$SN(\alpha)$ ile standart Normal karşılaştırması

$\alpha>0$ için sağa çarpık
$\alpha<0$ için sola çarpık
$SN(0)$ standart Normal ile aynıdır

Çok değişkenli çarpık-normal dağılım

Gösterimler: üç boyutlu çok değişkenli çarpık-normal dağılım

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ konum parametresi (uzunluk $3$ vektör)
$\Omega$ varyans-kovaryans parametresi ($3 \times 3$ matris)
$\alpha$ çarpıklık parametresi (uzunluk $3$ vektör)

İki değişkenli çarpık-normal dağılım kontur grafiği

İki değişkenli çarpık-normal

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Çarpık-normal dağılım için fonksiyonlar

sn kütüphanesinden:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- xi, Omega, alpha belirtilmeli

Çarpık-t dağılımı için fonksiyonlar

sn kütüphanesinden:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- xi, Omega, alpha, nu (serbestlik derecesi) belirtilmeli

Çarpık-normal örnekler üretme

3 boyutlu çarpık-normaldan 2000 örnek üret

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# xi, Omega ve alpha'yı belirt
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Örnekleri üret
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Çarpık-normal dağılımdan örnek

Çarpık-t örnekler üretme

3 boyutlu çarpık-t'den 2000 örnek üret

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Örnekleri üret
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Veriden parametre kestirimi

Çarpık-normal dağılımın parametrelerini kestirmek için yinelemeli algoritma gerekir
- Parametreleri hesaplamak için kapalı form yok
sn paketinde msn.mle() dahil birkaç fonksiyon var

Veriden parametre kestirimi

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Örnekler şunlarla üretilmişti:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Şimdi çarpık-normal dağılımlarla biraz egzersiz yapalım!

R'de Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları