Yaşam beklentilerini hesaplamak

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Kesik gelecek yaşam süresi

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, gelecekte $(x)$ tarafından yaşanmış tam yıl sayısı.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

$Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$ değerini hesapla.

# (65) için 5 yıl ertelenmiş ölüm olasılığı 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatif olarak
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

Kesik yaşam beklentisi

$K_x$'in beklenen değerine kesik yaşam beklentisi denir:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Bir süper kahramanın yaşam beklentisi

Bay İnanılmaz 35 yaşında ve Belçika'da yaşıyor.

Bağımsız bir süper kahraman olarak finansal planlamasını yapması gerekiyor.

Onun kesik gelecek yaşam süresi için iyi bir tahmin nedir?

Yardım eder misin?

R ile bir süper kahramanın yaşam beklentisi

$E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$ değerini hesapla.

# bir yıllık hayatta kalma olasılıkları
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# (35) için k yıllık hayatta kalma olasılıkları
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# (35) için kesik beklenen gelecek yaşam süresi
sum(kp35)

43.53192

Beklenen gelecek yaşam süresi

$E[K_x]$'ten $E[T_x]$'e nasıl geçeriz?
Yani: kesikten tam yaşam beklentisine?
Kullan:

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

R ile bir süper kahramanın yaşam beklentisi

$E[K_{35}]$ ile $E[T_{35}]$'i karşılaştır.

# (35) için kesik yaşam beklentisi
sum(kp35)

43.53192

# (35) için tam yaşam beklentisi
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

Hadi pratik yapalım!

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi