Rastgele gelecek yaşam süresi

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Rastgele gelecek yaşam süresi

$(x)$ şu anda yaşı $x$ olan bir bireyi gösterir, $x \geq 0$.
Rastgele değişken $T_x$, $(x)$'in gelecek yaşam süresidir.
Buna göre, $(x)$'in ölüm yaşı $x + T_x$'tir.

R'de yaşam tablosu

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table, 2013 Belçika erkekleri için dönem yaşam tablosunu içerir.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Ölüm oranları ve sağ kalma olasılıkları

Bir yıllık ölüm olasılığı

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$, $x$ yaşındaki ölüm oranıdır.
Bir yıllık sağ kalma olasılığı

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Dolayısıyla, $p_x = 1 - q_x$.

Belçikalı sporcuların R'deki ölüm oranları

Eden Hazard, Chelsea'de oynayan Belçikalı bir futbolcu ve 27 yaşında.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx, Tour de France'ı 5 kez kazanmış Belçikalı bir bisikletçi ve 72 yaşında.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Belçika ölüm oranları $q_x$'in R'de görselleştirilmesi

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Yaşam beklentisi

(Tam) beklenen gelecek yaşam süresi, $(x)$ için $E[T_x]$'tir.
27 yaşındaki Eden Hazard için:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

72 yaşındaki Eddy Merckx için:

ex[72 + 1]

12.67

R'de yaşam beklentisinin görselleştirilmesi

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Hadi pratik yapalım!

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi