Binom denemeleri

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

R'de yaşam tablosu

life_table, 2013 Belçika erkekleri için dönem yaşam tablosunu içerir.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

# Bu videoda kullanılan değişkenler
qx <- life_table$qx
px <- 1 - qx
lx <- life_table$lx
dx <- life_table$dx

Bir binom deneyi: bir yıl hayatta kalma

life_table içindeki $\ell_x$'e odaklan.

lx[0 + 1]

1e+05

Bir binom deneyi: bir yıl hayatta kalma

$x+1$ yaşına kadar hayatta kalanların sayısı BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$) dağılır.

lx[72 + 1]

px[72 + 1]

0.97369

rbinom(n = 1, size = lx[72 + 1], prob = px[72 + 1])

Bir binom deneyi: bir yıl hayatta kalma

Şimdi vektörleştirilmiş şekilde!

sims <- rbinom(n = length(lx), size = lx, prob = px)
head(sims)

99637 99567 99553 99546 99525 99515

Bir binom deneyi: $k$ yıl hayatta kalma

1 yıl hayatta kalanların sayısı BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$) dağılır.
$\quad \,$ Beklenen değer:
$$ \ell_{x+1} = \ell_x \cdot p_x. $$
$k$ yıl hayatta kalanların sayısı BIN($\ell_x$,$\ _{k}p_{x}$) dağılır.

$\quad \,$ Beklenen değer:

$$ \ell_{x+k} = \ell_{x} \cdot \ _{k}p_{x}. $$

$\quad \,$ Dolayısıyla:

$$ _{k}p_{x} = \frac{\ell_{x+k}}{\ell_{x}}. $$

Bir binom deneyi: ölüm sayısı

Ölümlerin sayısı BIN($\ell_x$,$\ q_{x}$) dağılır.

$\quad \,$ Beklenen değer: $$ \large \begin{aligned} d_x &= \ell_x \cdot q_x \\ &= \ell_x \cdot (1-p_x) \\ &= \ell_x -\ell_{x+1}. \end{aligned} $$

dx[72 + 1]

lx[72 + 1] - lx[73 + 1]

R'de hayatta kalma olasılıkları

$_5p_{65} = \dfrac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$ değerini hesapla.

# (65)'in 5 yıl daha yaşama olasılığı
lx[age == 70] / lx[age == 65]

0.9143957

# Alternatif olarak
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.9143957

R'de hayatta kalma olasılıklarını görselleştirme

# (65)'in 65 + k yaşına kadar yaşama olasılığı
k <- 0:45
plot(k, 
     lx[65 + k + 1] / lx[65 + 1], 
     pch = 20, 
     xlab = "k", 
     ylab = expression(paste(""[k], "p"[65])))

Hadi pratik yapalım!

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi