Olasılıkların hesaplanması

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Bir yıldan çok yıllı hayatta kalma olasılıklarına

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$

Hayatta kalma olasılıklarını yeniden yazma:

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$
$k$ bir tamsayı iken elde ederiz:

$$ \begin{aligned} _kp_x &= p_x \cdot \ _{k-1}p_{x+1} \\ &= p_x \cdot p_{x+1} \cdots p_{x+k-1} \\ &= \prod_{l=0}^{k-1} p_{x+l} \end{aligned} $$

$\quad \,$ bu da bir yıllık hayatta kalma olasılıklarının bir çarpımıdır.

$_5p_{65} = p_{65} \cdot p_{66} \cdot p_{67} \cdot p_{68} \cdot p_{69}$ hesapla.

# Bir yıllık hayatta kalma olasılıkları
px <- 1 - life_table$qx 
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65)'in 5 yıl daha yaşama olasılığı
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9144015

$_5p_{65} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$ hesapla.

# Alternatif (yuvarlamadan kaynaklı fark)
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]


0.9143957

$k = 1, 2, 3, 4, 5$ için $_kp_{65}$ hesapla.

# Bir yıllık hayatta kalma olasılıkları
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65)'in çok yıllı hayatta kalma olasılıkları
cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820
0.9144015

$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ için $_kp_{65}$ hesapla.

# (65)'in çok yıllı hayatta kalma olasılıkları
c(1, cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)]))

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 
0.9336820 0.9144015

$$ \begin{aligned} _{k|}q_x &= {}_kp_x \cdot q_{x+k}. \end{aligned} $$

$_{5|}q_{65} = {}_5p_{65} \cdot q_{70}$ hesapla.

# (65) için 5 yıl ertelenmiş ölüm olasılığı 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

$_{5|}q_{65} = \frac{d_{70}}{\ell_{65}}$ hesapla.

# Alternatif (yuvarlamadan kaynaklı fark)
dx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.02086817

$k = 0, 1, 2, \ldots$ için $_{k|}q_{65} = {}_kp_{65} \cdot q_{65 + k}$ hesapla.

# (65)'in hayatta kalma olasılıkları
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(length(px) - 1)]))
head(kpx)

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820 0.9144015

# (65)'in ertelenmiş ölüm olasılıkları
kqx <- kpx * qx[(65 + 1):length(qx)]
head(kpx)

0.01509000 0.01654649 0.01651060 0.01817087 0.01928053 0.02086664

R ile Hayat Sigortası Ürünlerinin Değerlemesi