Poisson regresyonu

RJAGS ile Bayesçi Modelleme

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Normal olasılık yapısı

$Y$ = belirli bir gündeki hacim (kullanıcı sayısı)
$Y \sim N(m, s^2)$

Teknik olarak...

Normal model $Y$'nin sürekli ölçekte olduğunu ve negatif olabileceğini varsayar.
Ama $Y$ ayrık bir sayımdır ve negatif olamaz.

Poisson modeli

$Y$ = belirli bir gündeki hacim (kullanıcı sayısı)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$, sabit bir aralıkta gerçekleşen bağımsız olayların sayısıdır (0, 1, 2, ...).
Oran parametresi $l$, bir zaman aralığındaki tipik olay sayısını gösterir
($l > 0$).

Poisson modeli

$Y$ = belirli bir gündeki hacim (kullanıcı sayısı)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$, sabit bir aralıkta gerçekleşen bağımsız olayların sayısıdır (0, 1, 2, ...).
Oran parametresi $l$, bir zaman aralığındaki tipik olay sayısını gösterir
($l > 0$).

Poisson modeli

$Y$ = belirli bir gündeki hacim (kullanıcı sayısı)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$, sabit bir aralıkta gerçekleşen bağımsız olayların sayısıdır (0, 1, 2, ...).
Oran parametresi $l$, bir zaman aralığındaki tipik olay sayısını gösterir
($l > 0$).

Poisson modeli

$Y$ = belirli bir gündeki hacim (kullanıcı sayısı)
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$, sabit bir aralıkta gerçekleşen bağımsız olayların sayısıdır (0, 1, 2, ...).
Oran parametresi $l$, bir zaman aralığındaki tipik olay sayısını gösterir
($l > 0$).

Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, burada $l_i > 0$

Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, burada $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, burada $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Bir sorun:
$l_i$'yi doğrusal modele doğrudan bağlamak, $l_i$'nin negatif olabileceğini varsayar.

Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, burada $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Bir çözüm:
$l_i$'yi doğrusal modele bağlamak için log bağ fonksiyonu kullan. Buna göre:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$, burada $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Bir çözüm:
$l_i$'yi doğrusal modele bağlamak için log bağ fonksiyonu kullan. Buna göre:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

RJAGS'te Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Y[i] için olabilirlik modeli





  # a, b, c için öncül modeller




}"

RJAGS'te Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Y[i] için olabilirlik modeli





  # a, b, c için öncül modeller
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

RJAGS'te Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Y[i] için olabilirlik modeli
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # a, b, c için öncül modeller
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

RJAGS'te Poisson regresyonu

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Y[i] için olabilirlik modeli
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # a, b, c için öncül modeller
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Uyarılar

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Varsayım: Benzer sıcaklık ve hafta içi/hafta sonu durumuna sahip günler arasında, $Y_i$'nin varyansı $Y_i$'nin ortalamasına eşittir.
Verilerimiz olası aşırı saçılım gösteriyor — varyans ortalamadan büyük.
Mükemmel olmasa da, bu model başlamak için fena değil.

Hadi pratik yapalım!

RJAGS ile Bayesçi Modelleme