Structurele breuken

Kwantitatief risicobeheer in Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Risico en verdeling

Toolkit risicobeheer
- Risicomitigatie: MPT
- Risicometing: VaR, CVaR
Risico: spreiding, volatiliteit
- Variantie (standaarddeviatie) als risicodefinitie
Koppeling tussen risico en verdeling van risicofactoren als willekeurige variabelen

Stationariteit

Aanname: verdeling is gelijk door de tijd
Onveranderlijke verdeling = stationair
Efficiënte grens tijdens de mondiale financiële crisis
- Niet stationair
Schattingstechnieken vereisen stationariteit
- Historisch: onbekende stationaire verdeling uit historische data
- Parametrisch: veronderstelde stationaire verdelingsklasse
- Monte Carlo: veronderstelde stationaire verdeling voor trekkingen

Structurele breuken

Niet-stationair => verdeling verandert mogelijk in de tijd
Neem specifieke tijdstippen van verandering aan
- Splits data in subperiodes
- Binnen elke subperiode: aanname stationariteit
Structurele breuk(en): moment(en) van verandering
- Verandering in ‘trend’ van gemiddelde en/of volatiliteit van data

Voorbeeld: groei van de Chinese bevolking

Bekijk periode 1950 - 2019
Trend is grofweg lineair...

Grafiek van de Chinese bevolking in de tijd, 1950-2019

Voorbeeld: groei van de Chinese bevolking

Bekijk periode 1950 - 2019
Trend is grofweg lineair...
...maar lijkt te vertragen rond 1990
Mogelijke structurele breuk rond 1990.
Impliceert dat verdeling van netto bevolking (geboorten - sterfgevallen) is veranderd
Mogelijke oorzaken: overheidsbeleid, levensstandaard, enz.

Grafiek van de Chinese bevolking in de tijd met trendpijlen, 1950-2019

De Chow-test

Vorig voorbeeld: visueel bewijs voor structurele breuk
Kwantificatie: statistische maat
Chow-test:
- Test op bestaan van structurele breuk gegeven lineair model
- Nulhypothese: geen breuk
- Vereist drie OLS-regressies
  - Regressie voor gehele periode
  - Twee regressies, voor en _na_ de breuk
- Verzamel som van gekwadrateerde residuen
- Teststatistiek volgt de F-verdeling

De Chow-test in Python

Hypothese: structurele breuk in 1990 voor de Chinese bevolking
Neem lineair “factormodel” aan: $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
OLS-regressie met statsmodels’ OLS over de hele periode 1950 - 2019
- Haal som van gekwadrateerde residuen op: res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

De Chow-test in Python

Splits 1950 - 2019 in subperiodes 1950 - 1989 en 1990 - 2019
Voer OLS-regressies uit per subperiode
- Haal res_before.ssr en res_after.ssr op

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

De Chow-test in Python

Bereken de F-verdeelde Chow-teststatistiek
- Bereken de teller
  - k = 2 vrijheidsgraden = 2 OLS-coëfficiënten $\alpha$, $\beta$
- Bereken de noemer
  - 66 vrijheidsgraden = totaal aantal datapunten (70) - 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow-teststatistiek: ", chow_test, "; Kritieke waarde, 99.9%: ", 7.7)

Chow-teststatistiek: 702.8715822890057; Kritieke waarde, 99.9%: 7.7

Laten we oefenen!

Kwantitatief risicobeheer in Python

Preparing Video For Download...