Definitie eigenwaarde/eigenvector

Lineaire algebra voor data science in R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Definitie

Voor een matrix $A$ is de scalair $\lambda$ een eigenwaarde van $A$, met bijbehorende eigenvector $\vec{v} \neq \vec{0}$, als geldt: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Met andere woorden:

De matrixvermenigvuldiging $A\vec{v}$ levert dezelfde vector op als $\lambda \vec{v}$, een scalaire vermenigvuldiging op een vector.

Deze matrix hoeft niet op die uit het vorige college te lijken.

Voorbeeld

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Merk op dat $\lambda = 2$ een eigenwaarde is van $A$ met eigenvector $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Geometrische motivatie

Voorbeeld, vervolg

Merk op dat $\lambda = 2$ een eigenwaarde is van $A$ met eigenvector $\vec{v} = (1, 0)^T$ _én_ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Laten we oefenen!

Lineaire algebra voor data science in R