Matrix-vectorvergelijkingen oplossen

Lineaire algebra voor data science in R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Matrix-vectorvergelijkingen oplossen

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Los $A\vec{x} = \vec{b}$ op met $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Matrix-vectorvergelijkingen oplossen

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Controleer je oplossing door $\vec{x}$ in te vullen:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Dit is gelijk aan de gegeven $\vec{b}$:

print(b)

1 -2

Aanvullende voorwaarden voor een unieke oplossing

Dus de enige oplossing van de homogene vergelijking $A\vec{x} = \vec{0}$ is de triviale oplossing $\vec{x} = \vec{0}$.

Aanvullende voorwaarden voor een unieke oplossing

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Voorwaarden voor een unieke oplossing van matrix-vectorvergelijkingen

Als $A$ een vierkante $n\times n$-matrix is, dan zijn de volgende voorwaarden equivalent en impliceren ze een unieke oplossing van $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Matrix $A$ heeft een inverse (is invertibel)
De determinant van $A$ is niet nul
De rijen en kolommen van $A$ vormen een basis voor alle vectoren met $n$ elementen
De homogene vergelijking $A\vec{x} = \vec{0}$ heeft alleen de triviale oplossing ($\vec{x} = 0$)

Laten we oefenen!

Lineaire algebra voor data science in R