Convexe optimalisatie met restricties

Introductie tot optimalisatie in Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Convexe optimalisatie met restricties

Convexe functie.

Restrictie: beperking op variabelen
Indifferentiecurve: toont combinaties van variabelen
Vind het punt op de indifferentiecurve dat de doelfunctie minimaliseert of maximaliseert

De indifferentiecurve

Een jonge vrouw met donker haar werkt op een laptop

Freelance software engineer
Waardeert werk ($w$) en vrije tijd ($l$)

Nutfunctie:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

De indifferentiecurve plotten

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

De indifferentiecurve

De indifferentiecurve visualiseren

Alexia is onverschillig over de specifieke combinatie van $w$ en $l$

Tijdsrestrictie

24 uur per dag
Lineaire gelijkheidsrestrictie

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Voeg de restrictie toe aan de grafiek:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Indifferentiecurve en lineaire restrictie. De indifferentiecurve op het optimum raakt de restrictie. In het raakpunt staat de gradiënt loodrecht op de restrictie en de raaklijn.

Oplossen met SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Laten we oefenen!

Introductie tot optimalisatie in Python