Regel van Bayes

Basis van kansrekening in Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Kans bij twee muntslagen

P(A en B) voor onafhankelijke gebeurtenissen

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A en B) voor afhankelijke gebeurtenissen

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A en B) voor afhankelijke gebeurtenissen (vervolg)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A en B) is gelijk aan P(B en A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A en B) is gelijk aan P(B en A) (vervolg)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Relatie van Bayes

$$ $$

Regel van Bayes

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Totale kans

Beschadigde onderdelen van alle leveranciers in een Venn-diagram

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Totale kans (vervolg)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Totale kans (vervolg)

Beschadigde onderdelen van alle leveranciers in een Venn-diagram

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Formule van Bayes

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Formule van Bayes (vervolg)

Formule van Bayes:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

De kans dat een onderdeel van leverancier i komt, gegeven dat het beschadigd is:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Formule van Bayes (vervolg)

Formule van Bayes: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
De kans dat een onderdeel van leverancier i komt, gegeven dat het beschadigd is:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes

Beschadigde onderdelen van alle leveranciers in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1 en 2 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1, 2 en 3 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1, 2 en 3 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1, 2 en 3 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1 over beschadigde onderdelen van leverancier 1, 2 en 3 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Visuele weergave van de regel van Bayes (vervolg)

Beschadigde onderdelen van leverancier 1 over beschadigde onderdelen van leverancier 1, 2 en 3 in een Venn-diagram

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Fabrieken- en onderdelenvoorbeeld in Python

Een bepaald elektronisch onderdeel wordt gemaakt door drie leveranciers: V1, V2 en V3.

De helft komt van V1; V2 en V3 maken elk 25%. De kans op schade gegeven productie door V1 is 1%, voor V2 2% en voor V3 3%.

Gegeven dat het onderdeel beschadigd is, wat is de kans dat het door V1 is gemaakt?

Fabrieken- en onderdelenvoorbeeld in Python (vervolg)

Gegeven dat het onderdeel beschadigd is: bepaal de kans dat het door V1 is gemaakt.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Fabrieken- en onderdelenvoorbeeld in Python (vervolg)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Een willekeurig gekozen beschadigd onderdeel is met kans {{4}} door V1 gemaakt.

0.285714285714

Laten we oefenen!

Basis van kansrekening in Python