Van steekproefgemiddelde naar populatiegemiddelde

Basis van kansrekening in Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Herhaling steekproefgemiddelde

$$ $$

Wet van de grote aantallen

Het steekproefgemiddelde nadert de verwachtingswaarde naarmate de steekproef groter wordt.

Postzegel van Jakob Bernoulli

Herhaling steekproefgemiddelde (Verv.)

$$ \text{Steekproefgemiddelde} = \bar{X_2} = \frac{x_1+x_2}{2} $$

Herhaling steekproefgemiddelde (Verv.)

$$ \text{Steekproefgemiddelde} = \bar{X_3} = \frac{x_1+x_2+x_3}{3} $$

Herhaling steekproefgemiddelde (Verv.)

$$ \text{Steekproefgemiddelde} = \bar{X_n} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} $$

Herhaling steekproefgemiddelde (Verv.)

$$ \text{Steekproefgemiddelde} = \bar{X_n} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \to \mathbb{E(X)} $$

De steekproef genereren

# Import binom and describe
from scipy.stats import binom
from scipy.stats import describe

# Steekproef van 250 eerlijke muntworpen
samples = binom.rvs(n=1, p=0.5, size=250, random_state=42)

# Print de eerste 100 waarden van de steekproef
print(samples[0:100]))

[0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0]

Steekproefgemiddelde berekenen

# Bereken het steekproefgemiddelde
print(describe(samples[0:10]).mean)

0.6

Convergentie van steekproefgemiddelde naar de verwachtingswaarde

Animatie: steekproefgemiddelde naar de verwachtingswaarde

Het steekproefgemiddelde plotten

$$ $$

from scipy.stats import binom
from scipy.stats import describe
import matplotlib.pyplot as plt

# Definieer variabelen
coin_flips, p, sample_size , averages = 1, 0.5, 1000, []

# Genereer de steekproef
samples = binom.rvs(n=coin_flips, p=p, size=sample_size, random_state=42)

Het steekproefgemiddelde plotten (Verv.)

$$ $$

# Bereken het steekproefgemiddelde
for i in range(2,sample_size+1):
    averages.append(describe(samples[0:i]).mean)

# Print de eerste waarden van averages
print(averages[0:10])

[0.5, 0.6666666666666666, 0.75, 0.6, 0.5, 0.42857142857142855, 0.5, 
0.5555555555555556,0.6, 0.5454545454545454]

Het steekproefgemiddelde plotten (Verv.)

$$ $$

# Voeg lijn voor populatiegemiddelde en plot van steekproefgemiddelde toe
plt.axhline(binom.mean(n=coin_flips, p=p), color='red')
plt.plot(averages, '-')

# Voeg legenda toe
plt.legend(("Populatiegemiddelde","Steekproefgemiddelde"), loc='upper right')
plt.show()

Plot van steekproefgemiddelde

Laten we oefenen!

Basis van kansrekening in Python