Een Kaplan-Meier-schatting fitten
Survivalanalyse in Python
Shae Wang
Senior Data Scientist
Wat is de Kaplan-Meier-schatting?
Een niet-parametrische statistiek die de overlevingsfunctie van time-to-event-data schat.
- Ook bekend als
- de product-limietschatter
- de K-M-schatting
- Niet-parametrisch: bouwt een overlevingscurve op uit data en gaat niet uit van een verdeling
De wiskundige intuïtie
Definities:
- $t_i$: een duur-tijd
- $d_i$: aantal events op tijd $t_i$
- $n_i$: aantal individuen dat tot tijd $t_i$ bekend is te overleven
Overlevingsfunctie $S(t)$ wordt geschat met: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
Waarom heet het de product-limietschatter?
Stel: events op 3 tijden: 1, 2, 3
Overleving voor $t=2$: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
Overleving voor $t=3$: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
De overleving op tijd t is het product van de overlevingskans op t en alle eerdere tijden.
Aannames om te onthouden
- Eenduidige events: het event treedt op op een duidelijk moment.
- Overlevingskansen vergelijkbaar voor alle proefpersonen: onafhankelijk van instaptijd.
- Niet-informerende censurering: gecensureerde cases hebben dezelfde vooruitzichten als doorgemeten cases.
Kaplan-Meier met lifelines
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: een class uit de lifelines-bibliotheek
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
Het hypotheekvoorbeeld
DataFrame-naam: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
Het hypotheekvoorbeeld
DataFrame-naam: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
De Kaplan-Meier-schatting gebruiken
Wat is de mediane looptijd van een uitstaande hypotheek?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
Wat is de kans dat een hypotheek elk jaar na start nog uitstaat?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
De Kaplan-Meier-schatting gebruiken
Wat is de kans dat een hypotheek in jaar 34 na start nog niet is afgelost?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
Voordelen en beperkingen
Voordelen
- Intuïtieve interpretatie van overlevingskansen.
- Flexibel: toepasbaar op elke time-to-event-dataset.
- Meestal het eerste model voor time-to-event-data.
Beperkingen
- Overlevingscurve is niet vloeiend.
- Als ≥50% van de data gecensureerd is, kan
.median_survival_time_niet worden berekend. - Niet geschikt om covariaat-effecten op de overlevingsfunctie te analyseren.
Laten we oefenen!
Survivalanalyse in Python
