De normale verdeling

Kwantiatief Risicobeheer in R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definitie van normaal

  • Als risicofactoren GBM volgen, zijn log-rendementen onafhankelijk normaal
  • Is dat zo?
  • Variabele x is normaal als de dichtheid is:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Hangt af van twee parameters: $\mu$ en $\sigma$
Kwantiatief Risicobeheer in R

Eigenschappen van de normaal

  • $\mu$ is het gemiddelde en $\sigma ^ 2$ de variantie
  • Notatie: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parameters eenvoudig te schatten uit data
  • Som van 2+ onafhankelijke normale variabelen is ook normaal
Kwantiatief Risicobeheer in R

Centrale limietstelling (CLT)

Kwantiatief Risicobeheer in R

Een normale verdeling schatten

  • Data: $X_1,...,X_n$
  • Methode van momenten:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Toepassing op FTSE-logrendementen 2008–09
Kwantiatief Risicobeheer in R

FTSE-voorbeeld

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
Kwantiatief Risicobeheer in R

De gefitte normaal weergeven

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

Kwantiatief Risicobeheer in R

Laten we oefenen!

Kwantiatief Risicobeheer in R

Preparing Video For Download...