Zonder moeite geen resultaat

GARCH-modellen in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH-in-mean-model

Kwantificeer de risk-reward trade-off.
Risico: $\sigma^2_t$. Beloning: $\mu_t$.
GARCH-in-mean-model:

$$ \mu_{t} = \mu + \lambda \sigma^2_{t} $$

$\lambda > 0$ is de risk/reward-parameter: toename in verwachte return per eenheid variantierisico.

Hoe?

Wijzig het argument mean.model in ugarchspec() van list(armaOrder = c(0, 0)) naar list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2):

garchspec <- ugarchspec(
              mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
              variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
              distribution.model = "sstd")

garchspec <- ugarchspec(
               mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2),
               variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
               distribution.model = "sstd")

Toepassing op dagelijkse S&P 500-rendementen

Schatting

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Inspectie van de geschatte gemiddeldecöefficiënten

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

    mu  archm 
0.0002 1.9950

Voorspelde gemiddelde rendementen

$$ \hat{\mu}_{t} = 0.0002 + 1.9950 \hat{\sigma}^2_{t} $$

Tijdreeks van voorspelde rendementen

Plot in R
```
plot(fitted(garchfit))
```

Het rendement van vandaag voorspelt dat van morgen

GARCH-in-mean gebruikt de financiële theorie van de risk-reward trade-off om een conditioneel gemiddelde te modelleren.
Laten we nu statistiek gebruiken om een model te bouwen dat de correlatie tussen het rendement van vandaag en morgen benut.
Het populairste model is AR(1):
- AR(1) staat voor autoregressief model van orde 1.
- Het voorspelt het volgende rendement met de afwijking t.o.v. de langetermijn-mean $\mu$:

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

Een positieve autoregressiecoëfficiënt

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho > 0$:
- Een hoger (resp. lager) dan gemiddeld rendement wordt gevolgd door een hoger (resp. lager) dan gemiddeld rendement.
- Mogelijke verklaring: markten onderreageren op nieuws, dus er is momentum in rendementen.
$|\rho|<1$: Mean reversion: de afwijkingen van $R_t$ t.o.v. $\mu$ zijn tijdelijk.

Een negatieve autoregressiecoëfficiënt

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho < 0$:
- Een hoger (resp. lager) dan gemiddeld rendement wordt gevolgd door een lager (resp. hoger) dan gemiddeld rendement.
- Mogelijke verklaring: markten overreageren op nieuws, dus er is reversie in rendementen.

Toepassing op dagelijkse S&P 500-rendementen

Specificatie en schatting van AR(1)-GJR GARCH met sst-verdeling

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Schattingen van het AR(1)-model

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

     mu     ar1     
 0.0003 -0.0292

MA(1) en ARMA(1,1)

Het Moving Average-model van orde 1 gebruikt de afwijking van het rendement t.o.v. zijn conditionele gemiddelde:

$$ \mu_{t} = \mu + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

ARMA(1,1) combineert AR(1) en MA(1):

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

Hoe?

MA(1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(0, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

ARMA(1, 1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

Jij past het mean.model-argument aan

GARCH-modellen in R