Gebruik alleen data die op het voorspeltijdstip beschikbaar waren

GARCH-modellen in R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Volatiliteit voorspellen met `sigma()` op `ugarchforecast`

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770

Volatiliteit schatten met `sigma()` op `ugarchfit` (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908

Volatiliteit schatten met sigma() op ugarchfit (ii)

Look-ahead bias: Toekomstige rendementen worden gebruikt voor de schatting.

Oplossing voor look-ahead bias: Rolling schatting

Programmeer een for-lus: itereren over voorspeltijden, ugarchfit() om te schatten en ugarchforecast() om volatiliteit te voorspellen
Ingebouwde functie ugarchroll() in het rugarch-pakket
Opties:
- Lengte van de schattingssteekproef
- Frequentie van herschatten

Expanding window-schatting

Gebruik alle beschikbare rendementen op het voorspeltijdstip

Rolling window-schatting

Gebruik alleen een vast aantal recentste rendementen dat op het voorspeltijdstip beschikbaar is

Eigenschappen van rolling window-schatting

Rolling window past zich aan veranderende modelparameters aan
Rekenlast van ugarchroll() zit in de lus over voorspeltijden:
- Verlaag door het model minder vaak te herschatten dan je voorspelt

Rollen en herschatten

Verlaag de rekenlast door het model elke $K$ observaties te schatten

Functie ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

Te specificeren argumenten:

GARCH-specificatie
data : te gebruiken rendementen
n.start: grootte van de initiële schattingssteekproef
refit.window: hoe die steekproef mee beweegt in de tijd: "moving" of "expanding
refit.every: hoe vaak het model te herschatten

Voorbeeld: dagrendementen EUR/USD jan 1999–dec 2018

Voor de 4961 EUR/USD-rendementen met 4961 observaties, vanaf 1999-01-05 en met een schuivend venster van 2500 observaties:

Uitvoer van veranderende parameters

Methode coef() geeft een lijst met de geschatte coëfficiënten per schatting

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794

Wijzigingen tussen vensters

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05

Wat zijn de rollende gemiddelde en volatiliteit?

Voor de EUR/USD-rendementen met n.start = 2500 is de eerste voorspelling voor observatie 2501, namelijk 2008-12-09:

Methode as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

Opmerking:

preds$Mu: reeks voorspelde gemiddelden
preds$Sigma: reeks voorspelde volatiliteiten

Voorspelde volatiliteiten

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

Nauwkeurigheid van rollende voorspellingen

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

Beoordeel de nauwkeurigheid van preds$Mu en preds$Sigma t.o.v. preds$Realized

Mean squared prediction error (gemiddelde)

# Voorspellingsfout voor het gemiddelde
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05

Mean squared prediction error (variantie)

# Voorspellingsfout voor het gemiddelde
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# Voorspellingsfout voor de variantie
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09

Vergelijk twee modellen

Standaard GARCH met student-t-verdeling

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

GJR-GARCH met scheve student-t-verdeling

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)

Vergelijking van voorspellingsnauwkeurigheid

Standaard GARCH met student-t-verdeling

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # geeft 6.974161e-09

GJR-GARCH met scheve student-t-verdeling

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # geeft 6.965095e-09

De proef op de som

GARCH-modellen in R