Multivariate t-verdelingen

Multivariate kansverdelingen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parameters voor multivariate verdelingen

Distribution	Locatieparameter	Schaalparameter
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skew-normal	`xi`	`Omega`
Skew-t	`xi`	`Omega`

Parameters voor multivariate verdelingen

Distribution	Locatieparameter	Schaalparameter	Vrijheidsgraden
Normal	`mean`	`sigma`	Nee
t	`delta`	`sigma`	Ja
Skew-normal	`xi`	`Omega`	Nee
Skew-t	`xi`	`Omega`	Ja

Univariate normaal vergelijken met univariate t-verdelingen

Vergelijking

Standaardnormaal
t met verschillende df's

Staarten van normaal- en t-verdeling vergelijken

Staarten zijn dikker bij dezelfde grens

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Distribution	Kans
Normal	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

Notatie voor multivariate t-verdeling

Generalisatie van de univariate Student's t-verdeling
- Veelgebruikte variant heeft één vrijheids-graad voor alle dimensies en wordt genoteerd als

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Contouren van bivariaat normaal en t-verdelingen

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Contouren van een t met df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Contouren van een bivariaat normaal

Functies voor multivariate t-verdelingen

Functies omvatten:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Steekproeven genereren

Genereer steekproeven uit een 3-dimensionale t met $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Vergelijken met normale steekproeven

t-verdeling met 4 vrijheidsgraden

Normaalverdeling

Vergelijken met normale steekproeven

t-verdeling met 10 vrijheidsgraden

Normaalverdeling

Laten we steekproeven genereren uit een multivariate t-verdeling!

Multivariate kansverdelingen in R