Multivariate scheve verdelingen

Multivariate kansverdelingen in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Scheve multivariate verdeling: scatterplot

Flowcytometriegegevens — side scatter (SSC) en forward scatter (FSC)

Scheve multivariate verdeling: contourplot

Flowcytometriegegevens — side scatter (SSC) en forward scatter (FSC)

Univariate skew-normal verdeling

Algemene skew-normal wordt genoteerd als $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ en $\omega$ zijn de locatie- en schaalparameters

Eenvoudigste vorm: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ is de scheefheidsparameter

Reeks univariate skew-normal verdelingen

Vergelijk $SN(\alpha)$ met een standaardnormaal

Voor $\alpha>0$ scheef naar rechts
Voor $\alpha<0$ scheef naar links
$SN(0)$ is gelijk aan een standaardnormaal

Multivariate skew-normal verdeling

Notatie: driedimensionale multivariate skew-normal verdeling

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ locatieparameter (vector van lengte $3$)
$\Omega$ variantie-covariantieparameter ($3 \times 3$ matrix)
$\alpha$ scheefheidsparameter (vector van lengte $3$)

Bivariate skew-normal contourplot

Bivariate skew-normal

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Functies voor skew-normal verdeling

Uit de sn-bibliotheek:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Je moet xi, Omega, alpha opgeven

Functies voor skew-t verdeling

Uit de sn-bibliotheek:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Je moet xi, Omega, alpha, nu (vrijheidsgraden) opgeven

Skew-normal steekproeven genereren

Genereer 2000 steekproeven uit een 3D skew-normal

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specificeer xi, Omega en alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Genereer steekproeven
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Steekproef uit een skew-normal verdeling

Skew-t steekproeven genereren

Genereer 2000 steekproeven uit een 3D skew-t met

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Genereer steekproeven
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Parameters schatten uit data

Iteratief algoritme nodig om parameters van een skew-normal te schatten
- Geen expliciete formule om parameters te berekenen
Meerdere functies in het sn-pakket, waaronder msn.mle()

Parameters schatten uit data

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Steekproeven zijn gegenereerd met:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Laten we oefenen met skew-normal verdelingen!

Multivariate kansverdelingen in R