Levensverwachtingen berekenen

Waardering van levensverzekeringsproducten in R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

De curtate toekomstige levensduur

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, het aantal volle geleefde jaren
$\quad \,$ voor $(x)$ in de toekomst.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

Bereken $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.

# 5 jaar uitgestelde sterftekans van (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatief
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

De curtate levensverwachting

De verwachtingswaarde van $K_x$ heet de curtate levensverwachting:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

De levensverwachting van een superheld

Mr. Incredible is 35 jaar en woont in België.

Als zelfstandige superheld moet hij zorgen voor zijn financiële planning.

Wat is een goede schatting van zijn curtate toekomstige levensduur?

Kun je helpen?

De levensverwachting van een superheld in R

Bereken $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# éénjaars overlevingskansen
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k-jaars overlevingskansen van (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# curtate verwachte toekomstige levensduur van (35)
sum(kp35)

43.53192

De verwachte toekomstige levensduur

Hoe ga je van $E[K_x]$ naar $E[T_x]$?
Dus: van curtate naar complete levensverwachting?
Gebruik:

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

De levensverwachting van een superheld in R

Vergelijk $E[K_{35}]$ met $E[T_{35}]$.

# Curtate levensverwachting van (35)
sum(kp35)

43.53192

# Complete levensverwachting van (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

Laten we oefenen!

Waardering van levensverzekeringsproducten in R