De hele, tijdelijke en uitgestelde lijfrente

Waardering van levensverzekeringsproducten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Een reeks uitkeringen

Wat als?
- De uitkering is $c_k$ EUR in plaats van 1 EUR?
- Een reeks zulke kapitaalverzekeringen in plaats van één?

Algemene opzet

Een lijfrente op $(x)$ met uitkeringsvector

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
Reeks kapitaalverzekeringen:
- elk met $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$ als verwachte contante waarde (EPV)
- samen:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ de EPV.

Lijfrentes in R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Hele leven lijfrente achteraf

Hele leven lijfrente achteraf: betaal $c_k$ aan het begin van jaar $(k+1)$.

Hele leven lijfrente direct

Hele leven lijfrente direct: betaal $c_k$ aan het einde van jaar $(k+1)$.

Hele leven lijfrentes in R

Bereken $\ddot{a}_{35}$ (achteraf) bij constante rente $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

en $a_{35}$ (direct)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Tijdelijke lijfrente achteraf

Tijdelijke lijfrente achteraf: maximaal $n$ jaar, van tijd $0$ t/m $n-1$.

Uitgestelde hele leven lijfrente achteraf

Uitgestelde hele leven lijfrente achteraf: geen betalingen in de eerste $u$ jaar.

Laten we oefenen!

Waardering van levensverzekeringsproducten in R