Willekeurige resterende levensduur

Waardering van levensverzekeringsproducten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

De willekeurige resterende levensduur

$(x)$ staat voor iemand die nu $x$ jaar is, met $x \geq 0$.
De toevalsvariabele $T_x$ is de resterende levensduur van $(x)$.
De sterfleeftijd van $(x)$ is dus $x + T_x$.

De sterftetafel in R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table bevat de periodetafel voor mannen in België in 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Sterftekansen en overlevingskansen

De eenjaarskans om te sterven

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ is de sterftekans op leeftijd $x$.
De eenjaarskans om te overleven

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Dus $p_x = 1 - q_x$.

Sterftekansen van Belgische sporters in R

Eden Hazard is een Belgische voetballer die voor Chelsea speelt en 27 is.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx is een Belgische wielrenner die 5 keer de Ronde van Frankrijk won en 72 is.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Sterftekansen $q_x$ in België in R visualiseren

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

De levensverwachting

De (volledige) verwachte resterende levensduur van $(x)$ is $E[T_x]$
Voor Eden Hazard, 27 jaar:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Voor Eddy Merckx, 72 jaar:

ex[72 + 1]

12.67

Levensverwachting in R visualiseren

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Laten we oefenen!

Waardering van levensverzekeringsproducten in R