Kasstromen en verdiscontering

Waardering van levensverzekeringsproducten in R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Een kasstroom

Kies een kapitaaleenheid en een tijdseenheid:
- 0 is het huidige moment;
- $k$ is $k$ tijdseenheden in de toekomst (bijv. jaren, maanden, kwartalen).
Bedrag ontvangen of betaald op tijd $k$:
- $c_k$
- de kasstroom op tijd $k$.

Een vector van kasstromen in R

In R:

# Define the cash flows
cash_flows <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
length(cash_flows)

Algemeen: voor een kasstroomvector $(c_0,c_1,\ldots,c_N)$:

Waardering van een kasstroomvector

Belangrijk:
- timing van kasstromen doet ertoe!
- tijdswaarde van geld doet ertoe!
Rentevoet bepaalt de groei van geld.

Rentevoet en discontovoet

Opgroeiing

$i$ is de constante rentevoet.

i <- 0.03
1 * (1 + i)

1.03

Verdiscontering

$v=\displaystyle \frac{1}{1+i}$ de discontovoet.

v <- 1 / (1 + i)
v

0.9708738

Van één periode naar k perioden

Opgroeiing
- de waarde op tijd $k$ van 1 EUR betaald op tijd $0$ $=(1+i)^k = v^{-k}$.

i <- 0.03 ; v <- 1 / (1 + i) ; k <- 2
c((1 + i) ^ k, v  ^ -k)

1.0609 1.0609

Verdiscontering
- de waarde op tijd $0$ van 1 EUR betaald op tijd $k$ $=(1+i)^{-k} = v^{k}$.

i <- 0.03 ; v <- 1 / (1 + i) ; k <- 2
c((1 + i) ^ -k, v  ^ k)

0.9425959 0.9425959

De contante waarde van een kasstroomvector

Wat is de waarde bij $k=0$ van deze kasstroomvector?

De contante waarde van een kasstroomvector

Wat is de waarde bij $k=0$ van deze kasstroomvector?

De contante waarde (PV)!

De contante waarde van een kasstroomvector in R

# Interest rate
i <- 0.03

# Discount factor
v <- 1 / (1 + i)

# Define the discount factors
discount_factors <- v ^ (0:7)

# Cash flow vector
cash_flows <- 
    c(500, 400, 300, rep(200, 5))

# Discounting cash flows
cash_flows * discount_factors

500.0000 388.3495 282.7788 183.0283 
177.6974 172.5218 167.4969 162.6183

# Present value of cash flow vector
present_value <- 
    sum(cash_flows * discount_factors)
present_value

[1] 2034.491

Laten we oefenen!

Waardering van levensverzekeringsproducten in R