Lebih Lanjut tentang Nilai dan Vektor Eigen

Aljabar Linear untuk Data Science di R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Apa yang Terjadi?

Jika nilai eigen $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ dari $A$ saling berbeda dan $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ adalah vektor eigen terkait, maka himpunan ini membentuk sebuah basis untuk vektor berdimensi $n$.
Artinya, jika matriks $A$ memiliki basis vektor eigen $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ dengan nilai eigen berbeda $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, maka setiap vektor berdimensi $n$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor ini, yaitu $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Apa yang Terjadi?

Menerapkan matriks $A$ pada $\vec{x}$, dan menggunakan fakta bahwa $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$, perhatikan dekomposisi sederhana berikut

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Jadi, pasangan eigen mengubah perkalian matriks menjadi kombinasi linear dari perkalian skalar!

Mengiterasi Matriks

Jika kita mengalikan matriks $A$ berulang:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

atau, secara umum: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Dengan demikian, perkalian matriks berulang bukanlah perkalian skalar berulang (pemangkatan)!

Juga, jika salah satu nilai eigen lebih besar dari yang lain, perbedaannya akan makin besar saat $t$ bertambah.

Contoh Frekuensi Alel

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Ayo berlatih!

Aljabar Linear untuk Data Science di R