Menyelesaikan Persamaan Matriks-Vektor

Aljabar Linear untuk Data Science di R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Menyelesaikan $A\vec{x} = \vec{b}$ dengan $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Memeriksa solusi dengan mensubstitusikan $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Sama dengan $\vec{b}$ yang diberikan:

print(b)

1 -2

Kondisi Tambahan untuk Solusi Unik

Jadi, satu-satunya solusi untuk persamaan homogen $A\vec{x} = \vec{0}$ adalah solusi trivial $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Jika $A$ adalah matriks bujur sangkar $n \times n$, maka kondisi berikut ekuivalen dan menyiratkan solusi unik untuk $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Matriks $A$ memiliki invers (invertible)
Determinan $A$ tidak nol
Baris dan kolom $A$ membentuk basis untuk himpunan semua vektor berdimensi $n$
Persamaan homogen $A\vec{x} = \vec{0}$ hanya memiliki solusi trivial ($\vec{x} = 0$)

Aljabar Linear untuk Data Science di R