Mengubah masalah non-linear

Pengantar Optimasi di Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Memaksimalkan fungsi non-linear

  • Seniman memproduksi hingga 16 lukisan dengan biaya $C(q) = \sqrt q$, di mana $q$ adalah jumlah
  • Permintaan invers $p=\frac{3}{\sqrt q}$, di mana $p$ adalah harga
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Perempuan melukis di kanvas

Pengantar Optimasi di Python

SciPy atau PuLP?

  • SciPy: milp mengharapkan objektif linear
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Pengantar Optimasi di Python

Substitusi untuk linearisasi

  • Substitusi $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ kendala kapasitas $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Pengantar Optimasi di Python

Penganggaran modal dengan proyek saling bergantung

Pernyataan masalah

  • Proyek $A$, $B$, $C$; $A$ adalah prasyarat untuk $B$
  • Laba masing-masing $V$ = [250, 200, 300]
  • Investasi yang dibutuhkan $I$ = [2000, 1900, 2500] dan hanya $4600 yang tersedia

Pemodelan

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ variabel biner; menunjukkan pemilihan proyek

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Ikon manajemen anggaran

Pengantar Optimasi di Python

Linearisasi: produk biner

  • Ganti $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Tambahkan kendala
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Masalah direduksi menjadi

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Pengantar Optimasi di Python

Alokasi sumber daya dengan biaya pelatihan

  • Alokasikan 120 tugas untuk meminimalkan biaya
  • Senior ($S$), junior ($J$), dan intern ($I$)
  • Biaya pelatihan intern $500
  • Biaya menyelesaikan tugas $c$ = [30, 40, 5]
  • Vektor $x$: tugas yang dialokasikan optimal
  • Biner $o$: apakah intern mendapat pelatihan
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Orang dengan pensil berdiri di samping daftar tugas besar

Pengantar Optimasi di Python

Linearisasi: produk biner dan kontinu

  • Metode Big-M memperkenalkan bilangan besar M
  • Mengganti produk dengan $z = (5x_I+500)o$
  • Menetapkan
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Pengantar Optimasi di Python

Ayo berlatih!

Pengantar Optimasi di Python

Preparing Video For Download...