Distribusi t multivariat

Distribusi Probabilitas Multivariat di R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parameter untuk distribusi multivariat

Distribusi	Parameter Lokasi	Parameter Skala
Normal	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skew-normal	`xi`	`Omega`
Skew-t	`xi`	`Omega`

Parameter untuk distribusi multivariat

Distribusi	Parameter Lokasi	Parameter Skala	Derajat kebebasan
Normal	`mean`	`sigma`	Tidak
t	`delta`	`sigma`	Ya
Skew-normal	`xi`	`Omega`	Tidak
Skew-t	`xi`	`Omega`	Ya

Membandingkan normal univariat dengan distribusi t univariat

Perbandingan

Normal baku
t dengan df berbeda

Membandingkan ekor distribusi normal dan t

Ekor lebih tebal untuk cutoff yang sama

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Distribusi	Probabilitas
Normal	0,05
t(df=1)	0,3
t(df=8)	0,0857
t(df=20)	0,0641
t(df=30)	0,0593

Notasi distribusi t multivariat

Generalisasi distribusi t Student univariat
- Versi yang umum digunakan memiliki satu derajat kebebasan untuk semua dimensi dan dinyatakan sebagai

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Kontur normal dan t bivariat

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Kontur t dengan df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Kontur normal bivariat

Fungsi untuk distribusi t multivariat

Fungsi mencakup:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Membuat sampel acak

Hasilkan sampel dari t berdimensi 3 dengan $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Perbandingan dengan sampel normal

distribusi t dengan 4 derajat kebebasan

Distribusi normal

Perbandingan dengan sampel normal

distribusi t dengan 10 derajat kebebasan

Distribusi normal

Ayo menghasilkan sampel dari distribusi t multivariat!

Distribusi Probabilitas Multivariat di R