Sebaran skew multivariat

Distribusi Probabilitas Multivariat di R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Sebaran skew multivariat: scatterplot

Data flow cytometry -- side scatter (SSC) dan forward scatter (FSC)

Sebaran skew multivariat: contour plot

Data flow cytometry -- side scatter (SSC) dan forward scatter (FSC)

Sebaran skew-normal univariat

Skew-normal umum dinotasikan dengan $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ dan $\omega$ adalah parameter lokasi dan skala

Bentuk paling sederhana: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ adalah parameter kemencengan

Rentang sebaran skew-normal univariat

Membandingkan $SN(\alpha)$ dengan Normal baku

Untuk $\alpha>0$ menceng ke kanan
Untuk $\alpha<0$ menceng ke kiri
$SN(0)$ sama dengan Normal baku

Sebaran skew-normal multivariat

Notasi: sebaran skew-normal multivariat tiga dimensi

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ parameter lokasi (vektor panjang $3$)
$\Omega$ parameter varians-kovarians (matriks $3 \times 3$)
$\alpha$ parameter kemencengan (vektor panjang $3$)

Contour plot sebaran skew-normal bivariat

Skew-normal bivariat

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Fungsi untuk sebaran skew-normal

Dari pustaka sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Perlu menentukan xi, Omega, alpha

Fungsi untuk sebaran skew-t

Dari pustaka sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Perlu menentukan xi, Omega, alpha, nu (derajat bebas)

Menghasilkan sampel skew-normal

Hasilkan 2000 sampel dari skew-normal 3 dimensi

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Tentukan xi, Omega, dan alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Hasilkan sampel
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Sampel dari sebaran skew-normal

Menghasilkan sampel skew-t

Hasilkan 2000 sampel dari skew-t 3 dimensi dengan

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Hasilkan sampel
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Estimasi parameter dari data

Perlu algoritme iteratif untuk mengestimasi parameter sebaran skew-normal
- Tidak ada persamaan eksplisit untuk menghitung parameter
Beberapa fungsi di paket sn, termasuk fungsi msn.mle()

Estimasi parameter dari data

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Sampel dihasilkan menggunakan:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Sekarang Ayo berlatih dengan sebaran skew-normal!

Distribusi Probabilitas Multivariat di R