Usia sisa acak

Penilaian Produk Asuransi Jiwa di R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Usia sisa acak

$(x)$ menyatakan seseorang berusia $x$ saat ini, dengan $x \geq 0$.
Peubah acak $T_x$ adalah usia sisa dari $(x)$.
Maka, usia saat meninggal dari $(x)$ adalah $x + T_x$.

Tabel mortalitas di R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table memuat period life table untuk pria di Belgia tahun 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Tingkat mortalitas dan probabilitas kelangsungan hidup

Probabilitas satu tahun meninggal

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ adalah tingkat mortalitas pada usia $x$.
Probabilitas satu tahun bertahan hidup

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Jadi, $p_x = 1 - q_x$.

Tingkat mortalitas olahragawan Belgia di R

Eden Hazard adalah pesepak bola Belgia yang bermain untuk Chelsea dan berusia 27 tahun.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx adalah pebalap sepeda Belgia yang menjuarai Tour de France 5 kali dan berusia 72 tahun.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Memvisualisasikan tingkat mortalitas Belgia $q_x$ di R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Harapan hidup

(Lengkap) harapan usia sisa dari $(x)$ adalah $E[T_x]$
Untuk Eden Hazard yang berusia 27 tahun:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Untuk Eddy Merckx yang berusia 72 tahun:

ex[72 + 1]

12.67

Memvisualisasikan harapan hidup di R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Ayo berlatih!

Penilaian Produk Asuransi Jiwa di R