Regresi Poisson

Pemodelan Bayesian dengan RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Struktur likelihood Normal

$Y$ = volume (# pengguna) pada hari tertentu
$Y \sim N(m, s^2)$

Secara teknis...

Model Normal mengasumsikan $Y$ berskala kontinu dan bisa negatif.
Namun $Y$ adalah hitungan diskret dan tidak bisa negatif.

Model Poisson

$Y$ = volume (# pengguna) pada hari tertentu
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ adalah # kejadian independen dalam interval tetap (0, 1, 2, ...).
Parameter laju $l$ menyatakan rata-rata # kejadian per interval waktu
($l > 0$).

Model Poisson

$Y$ = volume (# pengguna) pada hari tertentu
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ adalah # kejadian independen dalam interval tetap (0, 1, 2, ...).
Parameter laju $l$ menyatakan rata-rata # kejadian per interval waktu
($l > 0$).

Model Poisson

$Y$ = volume (# pengguna) pada hari tertentu
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ adalah # kejadian independen dalam interval tetap (0, 1, 2, ...).
Parameter laju $l$ menyatakan rata-rata # kejadian per interval waktu
($l > 0$).

Model Poisson

$Y$ = volume (# pengguna) pada hari tertentu
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ adalah # kejadian independen dalam interval tetap (0, 1, 2, ...).
Parameter laju $l$ menyatakan rata-rata # kejadian per interval waktu
($l > 0$).

Regresi Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ dengan $l_i > 0$

Regresi Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ dengan $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Regresi Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ dengan $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Masalah:
Mengaitkan $l_i$ langsung ke model linear mengasumsikan $l_i$ bisa negatif.

Regresi Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ dengan $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Solusi:
Gunakan fungsi taut log untuk mengaitkan $l_i$ ke model linear. Sehingga:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regresi Poisson

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ dengan $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Solusi:
Gunakan fungsi taut log untuk mengaitkan $l_i$ ke model linear. Sehingga:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regresi Poisson di RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Regresi Poisson di RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regresi Poisson di RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regresi Poisson di RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Catatan penting

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Asumsi: Di antara hari dengan suhu dan status hari kerja yang serupa, varians $Y_i$ sama dengan mean $Y_i$.
Data kita menunjukkan potensi overdispersion - varians lebih besar dari mean.
Meski tidak sempurna, model ini cukup baik untuk titik awal.

Ayo berlatih!

Pemodelan Bayesian dengan RJAGS