Ancora su autovalori e autovettori

Algebra lineare per la Data Science in R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Cosa succede?

Se gli autovalori $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ di $A$ sono distinti e $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ sono autovettori associati, allora questo insieme forma una base dello spazio $n$-dimensionale.
In altre parole, se la matrice $A$ ha una base di autovettori $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ con autovalori distinti $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, allora ogni vettore $n$-dimensionale si può esprimere come combinazione lineare di questi vettori, cioè $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Cosa succede?

Applicando la matrice $A$ a $\vec{x}$ e usando $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$, otteniamo la decomposizione

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Quindi le coppie eigen trasformano la moltiplicazione di matrici in una combinazione lineare di moltiplicazioni scalari!

Iterare la matrice

Se moltiplichiamo iterativamente per la matrice $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

in generale: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Dunque, moltiplicare matrici in successione non equivale a moltiplicazioni scalari successive (esponenziazione)!

Inoltre, se un autovalore è maggiore degli altri, le differenze cresceranno con $t$.

Esempio con frequenze alleliche

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Facciamo pratica!

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