Risolvere equazioni matrice-vettore

Algebra lineare per la Data Science in R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Risolvi $A\vec{x} = \vec{b}$ usando $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Verifica inserendo la soluzione $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Che è uguale al $\vec{b}$ dato:

print(b)

1 -2

Condizioni aggiuntive per l’unicità

Quindi, l’unica soluzione dell’equazione omogenea $A\vec{x} = \vec{0}$ è la soluzione banale $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Se $A$ è una matrice quadrata $n\times n$, le seguenti condizioni sono equivalenti e implicano un’unica soluzione di $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

$A$ ha un’inversa (è invertibile)
Il determinante di $A$ è non nullo
Le righe e le colonne di $A$ formano una base dello spazio dei vettori con $n$ elementi
L’equazione omogenea $A\vec{x} = \vec{0}$ ha solo la soluzione banale ($\vec{x} = 0$)

Algebra lineare per la Data Science in R