Trasformare problemi non lineari

Introduzione all'ottimizzazione in Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Massimizzare una funzione non lineare

  • Un’artista produce fino a 16 quadri con costo $C(q) = \sqrt q$, dove $q$ è la quantità
  • La domanda inversa è $p=\frac{3}{\sqrt q}$, dove $p$ è il prezzo
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Donna che dipinge su una tela

Introduzione all'ottimizzazione in Python

SciPy o PuLP?

  • SciPy: milp richiede un obiettivo lineare
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Introduzione all'ottimizzazione in Python

Sostituisci per linearizzare

  • Sostituisci $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ vincolo di capacità $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Introduzione all'ottimizzazione in Python

Budget di capitale con progetti dipendenti

Problema

  • Progetti $A$, $B$, $C$; $A$ è prerequisito per $B$
  • Profitti rispettivi $V$ = [250, 200, 300]
  • Investimenti richiesti $I$ = [2000, 1900, 2500]; disponibili solo $4600

Modello

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ variabili binarie; indicano la selezione dei progetti

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Icona di gestione del budget

Introduzione all'ottimizzazione in Python

Linearizzazione: prodotto di variabili binarie

  • Sostituisci $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Aggiungi vincoli
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Il problema diventa

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Introduzione all'ottimizzazione in Python

Allocazione risorse con costo di formazione

  • Assegna 120 task minimizzando il costo
  • Senior ($S$), junior ($J$) e intern ($I$)
  • Costo formazione intern $500
  • Costo per task $c$ = [30, 40, 5]
  • Vettore $x$: task assegnati in modo ottimale
  • Binaria $o$: indica se l’intern fa formazione
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Persona con matita accanto a una grande lista di cose da fare

Introduzione all'ottimizzazione in Python

Linearizzazione: prodotto di binaria e continua

  • Il metodo Big-M introduce un grande numero M
  • Sostituisce il prodotto con $z = (5x_I+500)o$
  • Impone
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
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Ayo berlatih!

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