Ottimizzazione convessa con vincoli

Introduzione all'ottimizzazione in Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Ottimizzazione convessa con vincoli

Funzione convessa.

Vincolo: limitazione sulle variabili
Curva di indifferenza: rappresenta combinazioni di variabili
Trova il punto sulla curva che minimizza o massimizza l’obiettivo

La curva di indifferenza

Una giovane donna con capelli scuri lavora al laptop

Sviluppatrice software freelance
Valuta lavoro ($w$) e tempo libero ($l$)

Funzione di utilità:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Tracciare la curva di indifferenza

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

La curva di indifferenza

Visualizzazione della curva di indifferenza

Alexia è indifferente alla combinazione specifica di $w$ e $l$

Vincolo di tempo

24 ore al giorno
Vincolo di uguaglianza lineare

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Aggiungi il vincolo al grafico:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Curva di indifferenza e vincolo lineare. La curva di indifferenza al livello ottimo è tangente al vincolo. Nel punto di tangenza il gradiente è perpendicolare al vincolo e alla tangente.

Risoluzione con SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Ayo berlatih!

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