Variabili categoriche e termini d’interazione

Modelli lineari generalizzati in Python

Ita Cirovic Donev

Data Science Consultant

Variabili categoriche

Variabili esplicative
- $x_1$: categorica (binaria)
- $x_2$: continua
Modello logistico $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{X})=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2\color{red}{x_2} $$

Variabili esplicative
- $x_1$: categorica (binaria)
- $x_2$: continua
Modello logistico $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2x_2 $$
Se $x_1=0$ allora $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=0},x_2)=\beta_0 + \color{red}{0} + \beta_2x_2 $$

Variabili esplicative
- $x_1$: categorica (binaria)
- $x_2$: continua
Modello logistico $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1\color{red}{x_1} + \beta_2x_2 $$
Se $x_1=0$ allora $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\beta_0 + 0 + \beta_2x_2 $$
Se $x_1 = 1$ allora $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=\beta_0 + \color{red}{\beta_1} + \beta_2x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=(\beta_0 + \color{red}{\beta_1}) + \beta_2x_2 $$

Visualizzazione del caso senza interazione con linee parallele.

Evidenziare la differenza nell’intercetta in un modello senza interazione.

Modello senza interazione

Linee non parallele che portano a un modello con termini d’interazione.

Pendenze diverse $\rightarrow$ c’è interazione
L’effetto di $x_1$ su $y$ dipende dal livello di $x_2$ e viceversa
Modello logistico con interazioni $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \color{red}{\beta_3x_1x_2} $$

Pendenze diverse $\rightarrow$ c’è interazione
L’effetto di $x_1$ su $y$ dipende dal livello di $x_2$ e viceversa
Modello logistico con interazioni $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
Se $x_1=0$ allora $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=0},x_2)=\beta_0 + \color{red}{0} + \beta_2x_2 + \color{red}{0} $$

Pendenze diverse $\rightarrow$ c’è interazione
L’effetto di $x_1$ su $y$ dipende dal livello di $x_2$ e viceversa
Modello logistico con interazioni $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
Se $x_1=0$ allora $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\beta_0 + \beta_2x_2 $$
Se $x_1 = 1$ allora $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=\beta_0 + \color{red}{\beta_1} + \beta_2x_2 + \color{red}{\beta_3}x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|\color{red}{x_1=1},x_2)=(\beta_0 + \color{red}{\beta_1}) + (\beta_2 + \color{red}{\beta_3})x_2 $$

Pendenze diverse $\rightarrow$ c’è interazione
L’effetto di $x_1$ su $y$ dipende dal livello di $x_2$ e viceversa
Modello logistico con interazioni $$ \text{logit}(y=1|X)=\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
Se $x_1=0$ allora $$ \text{logit}(y=1|x_1=0,x_2)=\color{red}{\beta_0} + \color{red}{\beta_2}x_2 $$
Se $x_1 = 1$ allora $$ \text{logit}(y=1|x_1=1,x_2)=\beta_0 + \beta_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_2 $$ $$ \text{logit}(y=1|x_1=1,x_2)=\color{red}{(\beta_0 + \beta_1)} + \color{red}{(\beta_2 + \beta_3)}x_2 $$

Rappresentazione di un modello con termine d’interazione (linee non parallele).

Le interazioni permettono:

Modelli lineari generalizzati in Python